和を求める　その１

　

　課題 　白玉●●●●●と、黒玉●●●●●●●の、和を求めます。

前回


方法その１　数える

　白玉と黒玉を、一列に並べて、数えます。
　●●●●●●●●●●●●
　一・二・三・四・五・六・七・八・九・十・十一・十二
　白玉と黒玉を合わせると、十二個です。
　白玉と黒玉の和は、12です。
　数式で表現すると、次のようになります。
　5 + 7 = 12

　
方法その２　和の表を用いる

白玉1～9、黒玉1～9の、81通りの組み合わせに対応する、和の表を、作成します。
123456789
12345678910
234567891011
3456789101112
45678910111213
567891011121314
6789101112131415
78910111213141516
891011121314151617
9101112131415161718

白玉と黒玉の個数を、各々数えて、1～9の、算用数字を用い、表現します。
白玉の個数は、表の第一列に、示しています。黒玉の個数は、表の第一行に、示しています。
行と列の交差する点が、和の値です。

例題は、白玉が5個、黒玉は7個です。表の5と7が交差する、12が、和です。
数式で表現すると、次のようになります。
5 + 7 = 12
白玉が7個、黒玉は5個の場合は、7と5が交差する、12が、和です。
数式で表現すると、次のようになります。
7 + 5 = 12
二つの式を比較すると、
5 + 7 = 7 + 5 = 12
これは、和を取る順序を入れ替えても、和が同じであることを、示しています。
演算の順序を入れ替えても、同一の結果を得ることを、交換則が成立すると、言います。


方法その３　和の組み合わせを記憶し、用いる

二つの数字の、81通りの組み合わせに対応する、和の表を、記憶します。
この方法は、総ての組み合わせを、記憶するためには、一定の訓練と、時間が、必要です。
例えば、表を見ないで、5と7の和は、・・・、12？　表を見て、確認？　正解！！！

ところで、7と5の和は、・・・、12です。
これは、5と7の和に、一致します。
5と7の和か、7と5の和の、いずれかを記憶すれば、十分です。
従って、記憶する組み合わせは、81通りでなく、45通りに、減少します。
上記の和の表では、記憶する領域は、■色と■色の領域です。

方法その４　数え方に、工夫をする

白玉と黒玉の数が、10を超える場合、数え方に、以下の工夫をします。
白玉と黒玉の数を比べて、大きい方を、左側に、並べます。

白玉が五個、黒玉は七個の場合は、
●●●●●●●　　●●●●●
次に、少ない方から、玉を移動し、十個の列を、作ります。
●●●●●●●●●●　　●●
十個の列が出来たら、残った玉を、数えます。
白玉と黒玉の個数は、十個と二つ、12です。
この操作を、数式で表現すると、次のようになります。
7 + 5 =　7 + (10 - 7) + 5 - (10 - 7) = 7 + 3 + 5 - 3 = 10 + 2 = 12

白玉が二個、黒玉は七個の場合は、
●●●●●●●　　●●
次に、少ない方から、移動し、十個の列を、作ります。
●●●●●●●●●
この場合は、十個の列が出来ず、白玉と黒玉の個数は、十個未満の、9です。

方法その４　算術を、用いる

上記の数え方を、算用数字を用いて、以下の手順で、行います。

①　白玉と黒玉の個数を、各々数え、算用数字でに表現します。
　　例えば、五個は5と七個は7、七個は7と二個は2

②　算用数字の大小を、判断します。
　　例えば、5と7では、7は、5より、大きい。7と2では、7は、2より、大きい。
　　数式で表現すると、次のようになります。
　　5と7は、5 < 7　　　7と2では、7 > 2

③　大きい方の数値に注目し、補数を、求めます。
　　補数は、10に、幾つ不足しているかの、数値です。
　　例えば、7の補数は、3。
　　数式で表現すると、次のようになります。
　　7の補数は、10 - 7 = 3

④　補数が、小さい方の数値より、大きい場合は、二つの数値の和を、求めます。
　　7と2の場合、補数3は、小さい方の数値2より、大きい。和は、7と2で、9です。
　　この場合は、和は、10未満です。

　　数式で表現すると、次のようになります。
　　7の補数は、10 - 7 = 3 であるから　3 > 2 より、和は、10以下となり、
　　7 + 2 = 9

⑤　補数が、小さい方の数値より、小さい場合は、補数と小さい数値との差を、求めます。
　　この場合、和は、十と、補数と小さい数値との差、です。
　　例えば、補数3と、小さい方の数値5との差は、2です。和は、十と2、12です。
　　この場合は、和は、10以上です。
　　これを、数式で表現すると、次のようになります。
　　7の補数は、10 - 7 = 3 であるから　3 < 5 より、和は、10以上となり、
　　7 + 5 = 7 + (10 - 7) + 5 - (10 - 7) = (7 + 3) + (5 - 3) = 10 + 2 = 12

この方法では、以下の記憶が、必要です。
①　数値の、大小関係。
②　補数に関する情報。
　　補数は、10に、幾つ不足しているかの、数値です。
　　1は9、2は8、3は7、4は6、5は5、6は4、7は3、8は2、9は1、です。
③　和が、10未満の領域に関して、二つの値の和を、記憶します。
　　和が、10未満の領域では、組み合わせは、45通りです。■色と■色の領域です。
　　さらに、交換則により、記憶する組み合わせは、20通りです。■色の領域です。
123456789
12345678910
234567891011
3456789101112
45678910111213
567891011121314
6789101112131415
78910111213141516
891011121314151617
9101112131415161718


④　和が10以上となる、大きい数と、小さいの数の、組み合わせは、以下の、25通りです。
　　大きい数値が9なら、補数は1です。小さい数値は、9～1まで、9通りがあります。
　　大きい数値が8なら、補数は2です。小さい数値は、8～2まで、7通りがあります。
　　大きい数値が7なら、補数は3です。小さい数値は、7～3まで、5通りがあります。
　　大きい数値が6なら、補数は4です。小さい数値は、6～4まで、3通りがあります。
　　大きい数値が5なら、補数は5です。小さい数値は、5の、1通りです。

　　以下の表は、補数と、小さい数値との、差です。
　　表の一行目の、赤い数字は、補数です。
　　表の一列目の、黒い数字は、小さい数方の、数値です。
　　列と行が交差する点での数値が、補数と、小さい数値との、差です。
12345
10　　　　
210　　　
3210　　
43210　
543210
65432
7654
876 　　
98 　　


方法その５　道具を用いる

二つの数の、和を求める方法として、算盤（そろばん）の利用を、検討します。
算盤は、梁（はり）を挟んで、天（梁の上側）と、地（梁の下側）の珠で、構成されます。
天にある珠（天珠）は、1個の珠で、5個の珠を、表しています。
地にある珠（地珠）は、1個の珠で、1個の珠を、表しています。

算盤の珠は、親指と人差し指を用い、次の操作を用いて、移動します。
天珠を「入れる」操作は、天珠を下方に、移動することです。
天珠を「払う」操作は、天珠を上方に、移動することです。
地珠を「入れる」操作は、地珠を上方に、移動することです。
地珠を「払う」操作は、地珠を下方に、移動することです。

算盤の最初の状態は、総ての天珠と地珠を、払った状態です。


天珠と地珠の操作で、1～9の数が、以下の様に、表現できます。
　
　１
 　２
 　３
 　４
 　５
 　６
 　７
 　８
 　９

例えば、7の設定は、天珠を入れ（5を設定）て、地珠を2個、入れます。

二つの数の、和を求める場合は、最初に足される数(被加数)を、入れます。
次に、足す数（加数）を、入れます。
加数は、被加数の天珠と地珠の状態と、加数との関係から、次の操作方法で、入れます。

①　直接１
　　天珠と地珠に、入れる珠が、必要な数だけ、残っている場合、天珠と地珠を、入れます。
　　加数が、4以下の場合、必要な数だけ、地珠を、入れます。
　　加数が、5以上の場合、天珠入れて、残りの数を、地珠に、入れます(残数の処理)。

　被加数は、天珠が入っていなく、地珠が、二つ残っています。
　加数が1か2の場合、地珠を、1個か2個、入れます。
　加数が5の場合、天珠を、入れます。
　加数が6か7の場合、天珠を、入れて、
　5を超えた、残りの1個か2個を、地珠に入れます(残数の処理)。


②　直接2
　　天珠が入っていて、加数が、5以上で、地珠に、入れる珠が、残っている場合です。
　　この倍は、和が10以上となり、桁上げが、必要です。
　　桁上げは、天珠を払い、左側の地珠を、1個入れます。
　　5を超えた、残りの数を、地珠に、入れます(残数の処理)。

　被加数は、天珠が入っていて、地珠が、二つ残っています。
　加数が5の場合、天珠を払って、桁上げを、行います。
　加数が6か7の場合、天珠を払って、桁上げを、行い、
　地珠を、1個か2個、入れます(残数の処理)。

③　5の補数1
　被加数は、天珠が入っていず、地珠は、入っていない個数が、加数より、少ない場合です。
　この場合、和は、5以上になります。
　そこで、5に足りない数（5の補数）を、地珠から払い、加数を5として、天珠を、入れます。
　5の補数は、加数が1のときは4、2は3、3は2、4は1、です。

　被加数は、天珠が入っていず、地珠が、二つ残っています。
　加数が、3か4の場合、直接入れる地珠の数が、足りません。
　加数が3の場合、地珠は、2個を払い、天珠を、入れます。
　加数が4の場合、地珠は、1個を払い、天珠を、入れます。

　被加数が2、加数が3 の場合を、数式で表現すると、次のようになります。
　2 + 3 = 2 + (5 - 2) + 3 - (5 - 2) = (2 + 3) + (3 - 3) = 5 + 0 = 5
　(5 - 2) が、補数になります。

④　5の補数2
　被加数は、天珠が入っていて、地珠は、入っていない個数が、加数より、少ない場合です。
　この場合、和は、10以上になります。
　そこで、5に足りない数（5の補数）を、地珠から払い、加数を10として、桁上げをします。
　桁上げは、天珠を、払い、左側の地珠を、１個、入れます。

　被加数は、天珠が入っていて、地珠は、残っていません。
　加数が、1～4の場合、直接入れる地珠の数が、ありません。
　加数が1の場合、地珠は、4個を払い、天珠を払い、桁上げをします。
　加数が4の場合、地珠は、1個を払い、天珠を払い、桁上げをします。

　被加数が9、加数が3 の場合を、数式で表現すると、次のようになります。
　9 + 3 = 5 + 4 + 3 = 5 + 4 + (5 - 4) + 3 - (5 - 4) = 5 + 5 + 3 - 1 = 10 + 2 = 12
　(5 - 4) が、補数になります。

⑤　10の補数
　加数が、6より大きく、被加数の地珠が、入っている場合に、用います。
　この場合、和は、10以上になります。
　そこで、10に足りない数（10の補数）を、地珠から払い、加数を10として、桁上げをします。
　桁上げは、左側の地珠を、１個、入れます。

　被加数は、地珠は、4個入っています。
　加数が、6～9の場合、利用できます。
　加数が6の場合、地珠は、4個を払い、桁上げをします。
　加数が9の場合、地珠は、1個を払い、桁上げをします。

　被加数が9、加数が8 の場合を、数式で表現すると、次のようになります。
　9 + 8 = 9 - (10 - 8) + 8 + (10 - 8) = 9 - 2 + 8 + 2 = 7 + 10 = 17
　(10 - 8) が、補数になります。

被加数が1～9、加数が1～9の、81通りの和は、上記の操作の、いずれかで、求まります。
この方法は、被加数と加数の和が知って、天珠と地珠を設定するものでは、ありません。
この方法は、天珠と地珠の、物理的な操作から、和を求めます。
加算の結果は、天珠と地珠の状態から、判断します。

下表に、被加数と加数の、81通りの組み合わせに関して、操作の型と、操作を、示します。

被加数
加数型操作
1～3直接1 　地珠を、1～3個、入れる
45の補数1 　地珠を、1個、払って、天珠を、入れる
5直接1 　天珠を、入れる（5を加える）
6～8直接1 　天珠を、入れる（5を加える）
　地珠を、1～3個、入れる(残数の処理)
910の補数 　地珠を、1個、払って、桁上げ
1～2直接1 　地珠を、1～2個、入れる
3～45の補数1 　地珠を、2～1個、払って、天珠を、入れる
5直接1 　天珠を、入れる（5を加える）
6～7直接1 　天珠を、入れる（5を加える）
　地珠を、1～2個、入れる(残数の処理)
8～910の補数 　地珠を、2～1個、払って、桁上げ
1直接1 　地珠を、1個、入れる
2～45の補数1 　地珠を、3～1個、払って、天珠を、入れる
5直接1 　天珠を、入れる（5を加える）
6直接1 　天珠を、入れる（5を加える）
　地珠を、1個、入れる(残数の処理)
7～910の補数 　地珠を、3～1個、払って、桁上げ
1～45の補数1 　地珠を、4～1個、払って、天珠を、入れる
5直接1 　天珠を、入れる（5を加える）
6～910の補数 　地珠を、4～1個、払って、桁上げ
1～4直接1 　地珠を、1～4個、入れる
5直接2 　天珠を、払い、桁上げ
6～9直接2 　天珠を、払い、桁上げ
　地珠を、1～4個、入れる(残数の処理)
1～3直接1 　地珠を、1～3個、入れる
45の補数2 　地珠を、1個、払って、天珠を、払って、桁上げ
5直接2 　天珠を、払い、桁上げ
6～8直接2 　天珠を、払い、桁上げ
　地珠を、1～3個、入れる(残数の処理)
910の補数 　地珠を、1個、払って、桁上げ
1～2直接1 　地珠を、1～2個、入れる
3～45の補数2 　地珠を、2～1個、払って、天珠を、払って、桁上げ
5直接2 　天珠を、払い、桁上げ
6～7直接2 　天珠を、払い、桁上げ
　地珠を、1～2個、入れる(残数の処理)
8～910の補数 　地珠を、2～1個、払って、桁上げ
1直接1 　地珠を、1個、入れる
2～45の補数2 　地珠を、3～1個、払って、天珠を、払って、桁上げ
5直接2 　天珠を、払い、桁上げ
6直接2 　天珠を、払い、桁上げ
　地珠を、1個、入れる(残数の処理)
7～910の補数 　地珠を、3～1個、払って、桁上げ
1～45の補数2 　地珠を、4～1個、払って、天珠を、払って、桁上げ
5直接2 　天珠を、払い、桁上げ
6～910の補数 　地珠を、4～1個、払って、桁上げ



方法その６　電卓を用いる


一桁の数値の和を求めるには、記憶力で、十分に、対応できます。
二桁以上の和になると、工夫が、必要です。
日本では、古くから、算盤による計算が、実用的に、用いられてきました。
最近は、算盤に変わり、電卓の利用が、一般的です。

電卓は、数値の入力と、＋や＝などの、演算子の選択だけで、利用できます。
電卓の利用は、電子計算機の仕組みなど、理解しなくても、可能です。
でも、少しだけ、ブラックボックスの中を、覗いてみます。

電子計算機の演算の中心は、二進数の演算を、利用しています。
一桁の二進数は、0か1か、いずれかの値です。
一桁の二進数の和は、0+0=0、0+1=1、1+0=1、1+1=10　、いずれかです。
二桁以上の和は、各桁毎の和を求め、桁上げを、行うかどうかです。
一桁の十進数は、81通りの和の組み合わせですが、二進数は、4通りです。

電卓では、数値の入力と、結果の表示は、十進数を、用います。
従って、十進数の数値を二進数に、二進数の数値を十進数に、変換が必要となります。



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