累乗と累乗根　指数と対数

対数	計算尺	対数のグラフ
指数関数的増加	片対数グラフ	指数関数的減少

累乗と累乗根　自然数
一辺が１０cmの正方形の面積は、１０＊１０＝１００cm²です。
この演算は、１０＊１０＝１０¹⁺¹＝１０²と表現され、１０の２乗です。
面積が１００cm²の正方形を作るために、一辺の長さを、いくらにしたらいいでしょうか？
その長さをxcmとすると、x＊x＝x²＝１００を満足する、xを求める演算になります。
そのxは、１００の平方根や２乗根と、呼ばれています。

一辺が１０cmの立方体の体積は、１０＊１０＊１０＝１０００cm³です。
この演算は、１０＊１０＊１０＝１０¹⁺¹⁺¹＝１０³と表現され、１０の３乗です。
体積が１０００cm³の立方体を作るために、一辺の長さを、いくらにしたらいいでしょうか？
その長さをxcmとすると、x＊x＊x＝x³＝１０００を満足する、xを求める演算になります。
そのxは、１０００の立方根や１０００の３乗根と、呼ばれています。

一般的に、値aを、n回連続する乗算は、a＊・・・＊a＝a^{1+・・・+1}＝aⁿと、表現されます。
この演算を、aのn乗、aを底（基数）、nを指数（冪指数）と、呼びます。
ここでは、基数と指数の呼び方を、用います。
aのn乗を求める方法は、aのn回の乗算です。

の

値aに対して、a＝xⁿを満足するxは、aのn乗根と、呼ばれています。

aのn乗根を求めるために、コンピューターのプログラミングを用いる方法を、検討します。
ここでは、適当なxに対して、a＝xⁿを満足するxを、繰り返し検索する、次の方法を用います。

（１）適当なxは、ある範囲内x₁とx₂にあると仮定し、ｘ＝(x₁+x₂)/2とします。
（２）初回は、x₁＝1、x₂＝aとし、xⁿを計算します。
（３）初回以降は、xⁿを計算し、その計算値とaを比較し、次回のｘを、求めます。
　　　　計算値がaより大きい場合は、x₂＝ｘとして、ｘ＝(x₁+x₂)/2とします。
　　　　計算値がaより小さい場合は、x₁＝ｘとして、ｘ＝(x₁+x₂)/2とします。
（４）計算値とaの差の絶対値が、収束値より小さくなるまで、（３）を繰り返します。

の収束値

累乗と累乗根　正の実数

上述では、a＝xⁿの計算において、指数nは、0,1,2,・・・の自然数に、限定しました。
指数が、2.5の様に、実数の場合、累乗の計算をどう取り扱うのかを、検討します。

10^2.5 = 10^2+0.5 = 10²＊10^0.5
x₀ = 10²　　x₁ = 10^0.5　とすると
10^2.5 = x₀＊x₁　です。
さらに、x₁ = 10^0.5より、x₁¹⁰ = 10⁵　です。
x₁¹⁰ = 10⁵ を満足するx₁は、100000の10乗根となり、その計算法は、その１に示しました。
基数が１０のとき、指数が2と3では、10² = 100、10³ = 1000の値となります。
指数2.5は、指数2と3の、中間の値となります。
累乗10^2.5 は、316.2になり、10² = 100と、10³ = 1000の、中間の値となります。

一般的に、指数nが2.13579の様に、n=n₀.n₁n₂n₃n₄n₅と、表現すると
a^{n₀.n₁n₂n₃n₄n₅} = a^{n₀+0.n₁+0.0n₂+0.00n₃+0.000n₄+0.0000n₅}
= a^n₀＊a^0.n₁＊a^0.0n₂＊a^0.00n₃＊a^0.000n₄＊a^0.0000n₅
x₀ = a^n₀, x₁ = a^0.n₁, x₂ = a^0.0n₂, x₃ = a^0.00n₃, x₄ = a^0.000n₄, x₅ = a^0.0000n₅ とすると
a^{n₀.n₁n₂n₃n₄n₅} = x₀＊x₁＊x₂＊x₃＊x₄＊x₅ となります。
さらに、x₁¹⁰ = a^n₁, x₂¹⁰⁰ = a^n₂, x₃¹⁰⁰⁰ = a^n₃, x₄¹⁰⁰⁰⁰ = a^n₄, x₅¹⁰⁰⁰⁰⁰ = a^n₅ です。
x₁は a^n₁の10乗根と、x₂は a^n₂の100乗根、 x₃は a^n₃の1000乗根, 等々です。
a=10,n₅=9の場合、x₅は 10⁹=1000000000の100000乗根です。
なお、n₄=0の様な場合、x₄=1　です。

の

指数が、2.5の様に、実数の場合、累乗根の計算をどう取り扱うのかを、検討します。

基数100の2.5乗根は、x^2.5=100を満足するxを、検索する課題になります。
実数は、2の様な自然数の部分と、.5の様な小数点以下の部分から、構成されます。
ここでは、以下のように、任意のxに対して、x^2.5を前述の方法で計算し、100と比較します。
（１）最初に、2.5乗根の自然数の部分を、検索します。
　　　xは、100の3乗根（4.64）より大きいと、想定できます。
　　　自然数の部分の検索は、4,5,6,・・・のxに対して、2.5乗を求め、100と比較します。
　　　6^2.5=55.9で100未満、 7^2.5=129.6で100を超えるので、自然数の部分は、6です。
（２）2.5乗根の小数点以下の部分を、検索します。
　　　小数点第一位の検索を、6.1,6.2,・・・の各々に対して2.5乗を求め、100と比較します。
　　　6.3^2.5=99.6で100未満、6.4^2.5=103.6で100を超えるので、6.3とします。
（３）小数点第二位以下は、（２）と同様な方法を用い、小数点第七位まで、検索します。

任意の基数のn乗根は、上記の（１）～（３）の手順の、一般化により、検索が可能です。

の

累乗と累乗根　負の実数

上述では、指数nは、正の実数としました。
指数が負の実数の場合、累乗と累乗根の計算をどう取り扱うのかを、検討します。

累乗の計算
10^-2.5 = 10^-2.5＊10^2.5/10^2.5 = 10^-2.5+2.5/10^2.5 = 10⁰/10^2.5 = 1/10^2.5
10^-2.5 = 10 の計算は、10^2.5 の計算値の、逆数になります。

一般的に、a^-n＝1/aⁿ と、表現できます。
従って、a^-n の計算は、aⁿ の計算を行い、その計算値の、逆数を求めます。

の

累乗根の計算
一般的に、xⁿ=a を満足する、累乗根xの計算方法は、nの符号により、以下の様になります。
（１）　x^2.0＝4.0　の様に、 n >= 0 の場合
（２）　x^-2.0＝4.0　の様に、 n < 0 の場合

（１）の場合の計算方法は、上述の累乗根の計算において、示しました。

（２）の場合、式は、x^-2.0＝1/x^2.0＝4.0に、変形できます。
　　　さらに、1/x^2.0＝4.0 は、x^2.0＝1/4.0 に、変形できます。
　　　従って、x^-2.0＝4.0 の計算は、x^2.0＝1/4.0 の累乗根の計算と、同じになります。
　　　そこで、変数を、n=-n, a=1/a と置き換えると、（１）の計算方法が、利用できます。

の

の

累乗のグラフ

y = a^x のグラフ

a₁ = 　 a₂ = 　 a₃ = 　

累乗根のグラフ

y ^x= a のグラフ

a₁ = 　 a₂ = 　 a₃ = 　

対数

関係式　y=aⁿ において、
与えられたaとnに関して、yを求める計算が、累乗の計算です。
与えられたyとnに関して、aを求める計算が、累乗根の計算です。

対数の計算は、与えられたyとaに関して、nを求める計算です。
累乗の計算では、10² ＝ 100、10³ ＝ 1000、10^2.5 = 316.2 の値となります。
従って、aが10のとき、100の対数は 2 、1000の対数は 3、 316.2の対数は 2.5 です。

316.2 = 10^2.5 を参考に、対数を求めるプログラミングを、検討します。
関係式は、316.2 = 10^2.5 = 10^2+0.5 と変形できます。
従って、316.2 = 10^{n₀.n₁n₂n₃n₄n₅} を満足する、n₀.n₁n₂n₃n₄n₅の検索となります。
10^{n₀.n₁n₂n₃n₄n₅}の計算方法は、その２の累乗の計算において、検討しました。

一般的に、aⁿ = y の値は、n >= 0 ならば y >=1.0、　n < 0 ならば y < 1.0です。
y >=1.0　の場合は、前述の計算方法を、用います。

しかし、 y < 1.0 の場合は、n < 0 となり、前述の方法は、不適切であり、検討が必要です。
例えば、　n < 0 では、10^-1 = 0.1 、10^-2.5 = 0.0031622 です。
10^-2.5 = 10^-3+.5 = 10^-3＊10^+.5　 = 1/1000＊10^+.5　= 0.0031622
1/1000＊10^+.5　= 0.0031622 より、10^+.5　= 1000*0.0031622=3.1622　となります。
そこで、 y < 1.0 の場合は、最初に、y＊a^n₀ > 1.0 を満足する、 n₀の最小値を、検索します。
次に、y = a^{-n₀+.n₁n₂n₃n₄n₅} を満足する、n₁n₂n₃n₄n₅ の検索をします。

y = 　　a = 　とする　　

与えられたyとaに関して、y=aⁿを充たす、対数nは、次式で、表現されます。
n = log _a y
ここで、表記を、n ⇒ y, a ⇒ b, y ⇒ x　に、置き換えて、y = log _b x の表記法を、用います。
対数では、基数bは、底と、呼ばれています。

エンゲルスの『自然の弁証法』の『数学』において、以下の記述が、見出されます。
「どの数も他のどの数の累乗とも考えられる―対数系は整数と分数と同じ数だけ存在するからである。」
これは、y = aⁿ = b^m = ・・・　を、意味します。

y = は、　a = 　とする　　n =
　　　　　　　　　　b = 　とする　　m =

対数は、水溶液の性質を表現する、pH（ペーハー）の表示に、利用されています。
水溶液では、水素イオンH⁺と水酸化物イオンOH^-が、存在します。
それらの濃度は、電離平衡 [H⁺]＊[OH^-] = 1.0＊10^-14(mol/l)² の関係式が、成立しています。
pHは、pH = - log [H⁺] で、定義されます。
純水は、[H⁺] = [OH^-] = 1.0＊10^-7(mol/l) であり、pH = - log 1.0＊10^-7 = 7 です。
酸性の水溶液は、H⁺がOH^-より多く、pH は、7以下です。
pH = 3では、[H⁺] = 1.0＊10^-3(mol/l) 、[OH^-] = 1.0＊10^-11(mol/l) です。
pH = 2では、[H⁺] = 1.0＊10^-2(mol/l) 、[OH^-] = 1.0＊10^-12(mol/l) です。
pHが１小さくなると、水素イオン濃度 [H⁺]は、10倍ほど、濃くなります。
アルカリ性の水溶液は、OH^-がH⁺より多く、pH は、7以上です。
pH = 11では、[H⁺] = 1.0＊10^-11(mol/l) 、[OH^-] = 1.0＊10^-3(mol/l) です。
pH = 12では、[H⁺] = 1.0＊10^-12(mol/l) です、[OH^-] = 1.0＊10^-2(mol/l) です。
pHが１大きくなると、水酸化物イオン濃度[OH^-]は、10倍ほど、濃くなります。

計算尺

化学の計算などで、正の実数 x, y の積や商の計算に、対数を利用した時代が、ありました。
x = a^m, y = aⁿとすると、x＊y = a^m＊aⁿ = a^m+n、m = log x, n = log yとなります。
さらに、log (x＊y) = log(a^m＊aⁿ) = log( a^m+n) = m+n = log x + log y
或いは、log (x/y) = log(a^m/aⁿ) = log( a^m-n) = m - n = log x - log y

上記の関係式から、log (x＊y)やlog (x/y)は、log x と log yの和や差に、関係付けられます。
log xやlog yの表示に、対数目盛を用いると、和や差は、目盛の物理的な操作に、対応します。
計算尺では、 x, y と結果を表示する、三本の対数目盛を、利用します。
三本の対数目盛は、log xを示す目盛、log yを示す目盛、演算の結果を示す目盛です。
演算は、log yを記述している尺を、左右に、スライドすることにより、行います。

log (2.0＊4.0) = log 2.0 + log 4.0 を例に、積を求める操作を、説明します。
（１）log xの目盛の2.0の位置に、log yの1.0の目盛りの位置を、合わせます。
（２）log yの目盛の4.0の位置に、対応する、演算の結果を表示する目盛を、目測します。

log (2.0/4.0) = log 2.0 - log 4.0 を例に、商を求める操作を、説明します。
（１）log xの目盛の2.0の位置に、log yの4.0の目盛りの位置を、合わせます。
（２）log yの目盛の1.0の位置に、対応する、演算の結果を表示する目盛を、目測します。

上記の例は、x, y は、ともに、1.0より大きく10.0未満の、一の位の正の実数です。
演算の結果は、積が、1.0より大きく100.0未満、商が、0.1より大きく10.0未満の、範囲です。
x, y が一の位以外では、演算の結果が、0.1から100.0未満の範囲を、超える場合が生じます。
この場合には、計算に用いるx, y を、1.0より大きく10.0未満とする、対処が必要です。
例えば、2000＊0.04 = 2.0＊10³＊4.0＊10^-2 = 2.0＊4.0＊10^3-2と、処理します。
2.0＊4.0の演算の結果に、位取りの処理として、10^3-2 = 10を、掛け合わせます。

x = 　　y = 　　　　

対数のグラフ

y = log _b x
対数の式 y = log _b x において、xを真数、 b を底と、呼びます。
底が b = 10 の場合は、常用対数と呼ばれ、底を省略して、y = log x と、表記します。
底が b = 2.71828 の場合は、自然対数と呼ばれ、y = ln(x)と、表記されます。

底１ = 　　底２ = 　とする

指数関数的増加

変数の増加とともに、関数の値が、増加する現象が、存在します。
それは、一次関数 y = a＊x、二次関数 y = a＊x² 、指数関数 y = a^x などで、表現されます。
a = 2,x = 2とすると、二次関数で y = 2＊2² = 8　、指数関数で y = 2²= 4 です。
a = 2,x = 10とすると、二次関数で y = 2＊10² = 200、指数関数で y = 2¹⁰ = 1024 です。
両者を比較すると、指数関数の方が、急速に増加することが、理解できます。
この増加は、指数関数的増加と、呼ばれています。

係数(k)を用いると、指数関数の式は、y = a^k＊x になります。
両辺の常用対数をとると、log _a y = log _aa^k＊x = k＊x＊log _aa = k＊x 、になります。
このことは、log _a y は、一次関数 log _a y = k＊x、で表現できます。
この関係は、以下の操作で、グラフ上で、確認できます。

係数(k) = 　底(a) = 　とする

log _a y と a^k＊x のグラフ

片対数グラフ

データ x,y が、log _a y = k＊x で、表現できるか否の判断に、片対数グラフの利用があります。
次のデータ x,y を、片対数グラフ上に、プロットします。
x₁,y₁ / x₂,y₂ / ・・・ = 1,2.71828/3,20.08549/6,403.427/4.5,90.0168

上記のグラフより、データは、一次関数 k＊x の直線で、表現されています。
さらに、直線の傾きは、k = 0.4343と、算出されました。
このことから、データは、指数関数 y = a ^k*x において、y = 10^0.4343＊x で、表現できます。
或いは、指数関数が y = a ^x とすると、a = 10^0.4343 = 2.7183、となります。

下記のデータは、指数関数や二次関数などの、xとyに関する、数値です。
データを複写し、データの項に貼り付け、により、片対数グラフが、表示されます。

(2.71828)^x ： 1,2.71828/3,20.08549/6,403.427/4.5,90.0168
(2)^x ： 1,2/2,4/3,8/4,16/5,32/6,64/7,128/8,256/9,512
(3)^0.5*x ： 2,3/4,9/6,27/8,81/10,243
(x)² ： 2,4/3,9/4,16/5,25/9,81
(x)³ ： 2,9/3,27/4,64/5,125/9,729

データ　　

指数関数的減少

化学反応 A→B の一次反応では、反応物質の減少する速度は、反応物質の濃度に、比例します。
一次反応は、微分方程式 -d[A]/dt = k＊t 、tは時間変数、 kは反応速度定数、で表現できます。
微分方程式の解は、[A] = [A]₀ e^-k＊t、[A]₀ は初濃度、e = 2.71828 、で表現できます。
反応物質の濃度が、初濃度[A]₀の半分になる時間 t _1/2 は、以下の関係式から、求まります。
[A] = [A]₀ e^-k＊t_1/2 = (1/2)＊[A]₀ より、 e^-k＊t_1/2 = 1/2
自然対数を用いると、 ln( e^-k＊t_1/2) = -k＊t_1/2＊ln(e) = -k＊t_1/2 = ln(1/2) = -0.693
従って、t_1/2 = 0.693/k　
[A] = [A]₀ e^-k＊tを示す現象は、²³⁹Pu などの、放射性同位元素で、観測されます。
²³⁹Pu の原子核の崩壊では、半減期が、24000年です。

半減期に関して、以下の諸点を、留意します。
（１）　半減期は、反応物質の初濃度[A]₀に、依存せず、一定です。
　　　　反応のどの途中段階からも、その半分の濃度になる時間は、いずれも同じです。
（２）　半減期は、化学反応においては、反応速度定数 k に、依存します。
　　　　反応速度定数 k は、化学変化の活性化エネルギーや、反応温度に、依存します。

初濃度[A]₀ = 1 とする、指数関数の式　y = e^-k＊t　に対して、両辺の常用対数をとると
log y = -k＊t＊log e = -0.43429＊k＊t
従って、log y　は、時間 t に関して、傾きが-0.43429＊kとなる、一次関数です。
これから、t と y に関するデータが、指数関数の式で、表現できるか否かを、判断できます。
y に関して片対数グラフを用いて、データをプロットして、直線か否かを、判断します。
さらに、直線の勾配から、速度定数 k や半減期 t_1/2 が、算出できます。

下図は、データ 0,1/0.5,0.4724/1,0.2231/1.5,0.1053/2,0.0498・・・を、用いた例です。
o 印は、log y の値を、片対数グラフ上に、プロットしました。
o 印を結ぶ線は、直線的であり、隣接間の平均の勾配は、-0.6509と、算出されます。
平均の勾配値より、k = 1.4987、t_1/2 = 0.4624 と、算出されます。
この値から、赤線で、e^-k＊t の指数関数を、描画しました。
o 印は、データの値であり、指数関数上にあることが、明らかです。

反応速度定数 k が、0.00001 < k < 10000 の範囲において、上記のグラフを、描画できます。
この k の範囲は、70000 > 半減期 > 0.00007 に、対応します。
また、与えられた、t と y の入力データより、上記のグラフを、描画できます。
データの様式は、t₁,y₁ / t₂,y₂ / ・・・に関して、 0,1/1,0.3679/2,0.13539・・・
以下の数値は、入力データの、一例です。
( k = 1) 0,1/1,0.3679/2,0.13539/3,0.0498/4,0.01832/5,0.006738
( k = 10000) 0,1/0.0001,0.3679/0.0002,0.13539/0.0004,0.01832/0.0006,0.00249
( k = 0.0001) 0,1/10000,0.3679/20000,0.13539/40000,0.01832/60000,0.002479
( k = 0.5) 1,30.327/3,11.157/2,18.394/0,50.000/4,6.767/5,4.104/6,2.489
( 不適合) 0,1/1,0.3879/2,0.22539/3,0.0298/4,0.01032/5,0.006738

k = 　とする　　
データ　の　　
半減期は

　　　e^-kx

log y